Trigonometria: algumas aplicações

3 aplicações da Trigonometria em situações aparentemente incomuns e que nas maiorias das vezes não enxergamos relação direta com a Matemática.

Estava digitando algumas questões para as avaliações, e antes de conclui-las, surge a ideia de escrever esse post, mostrando algumas aplicações matemáticas para um dos conteúdos mais temidos pelos estudantes — a Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medida).

A Trigonometria remonta as civilizações dos antigos egípcios, babilônicos e indianos, há mais de três mil anos. Os indianos foram os primeiros a manipularem a Álgebra para cálculos astronômicos, que por sua vez usavam Trigonometria.

O objetivo deste artigo não é de fazer entender conceitos, definições, teoremas ou os exemplos destacados ao longo deste post, mas apenas de mostrar a Trigonometria em situações aparentemente incomuns e que na maioria das vezes não enxergamos relação direta com a Matemática. Os exemplos podem ser facilmente transmitidos para os alunos, simplesmente para efeito de curiosidade.

Infelizmente, existem pessoas que ao ouvir esse nome sai correndo ou faz uma cara feia no mesmo instante. A Matemática, quando aplicada em situações cotidianas ou bastantes interessantes em diversos ramos da Ciência, pode trazer um outro olhar para as pessoas e deixá-las mais amigáveis com a Matemática. O difícil é conseguir mostrar isso. Já falei um pouco sobre isso no post Para que serve a Matemática? e Por que as pessoas tem orgulho na sua falta de habilidade Matemática?. Recomendo que leia os comentários.

Observe a listinha de algumas aplicações matemáticas da Trigonometria:

• Teoria musical
• Astronomia
• Acústica
• Óptica
• Análise de mercados financeiros
• Eletrônica
• Teoria da Probabilidade
• Estatística
• Biologia
• Radiologia (tomografia computadorizada e ultrasonografia)
• Farmácia
• Química
• Teoria do números (Criptologia)
• Sismologia
• Meteorologia
• Oceanografia
• Arquitetura
• Agrimensura (ramo da Topografia)
• Geodésia
• Engenharia elétrica
• Engenharia mecânica
• Engenharia civil
• Computação gráfica
• Cartografia
• Cristalografia

Ao longo da vida deste blog pesquisarei e publicarei artigos com exemplos aplicáveis de cada área destacada na lista acima. Neste artigo destaco 3 aplicações.

Segue abaixo algumas aplicações simples em que vemos a Trigonometria. Para entender as situações a seguir é necessário dominar algumas noções deste conteúdo, assim como cálculos algébricos básicos.

Altura de um prédio (Engenharia civil, elétrica, mecânica e hidráulica)

Como você faria para saber qual a altura de um prédio qualquer? Poderia ser uma árvore, um poste de rua ou qualquer outra situação. Com certeza conseguiríamos fazer isso com muito trabalho e usando algum instrumento.

Observe o desenvolvimento da seguinte situação:

O topo de uma escada de 25 metros de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício e a escada com o chão formou um ângulo de 45º (45 graus), como mostra a figura. A altura desse edifício é, em metros, igual a: (Use: sen (45º) = 0,707.)

Interpretando/discutindo:

1º) A situação é realmente prática? Claro, poderia ser qualquer objeto retilíneo apoiado em outro objeto que passe uma ideia de vertical (perpendicular, no caso prédio em relação ao solo), ou seja, forma um ângulo reto com o solo, desenhando assim um triângulo retângulo. Onde: a escada é a hipotenusa, o prédio é um cateto e o chão (do apoio da escada até a base do prédio) forma o outro cateto.

2º) Como se sabe que a escada pode formar um ângulo de 45º com o chão? Existem instrumentos que os engenheiros usam para fazer essas medições. Mas se você não é engenheiro, um simples transferidor resolve o problema. Apoie-o no chão junto a escada e faça a medição aproximada.

É óbvio que engenheiros não usam esse tipo de cálculo e nem instrumentos limitados nas obras de grandes edifícios, mas toda a teoria matemática se resume em Trigonometria, nas mais diferentes situações.

3º) Por que sen45º = 0,707? Bom, mostrar essa parte seria necessário outros posts e muito cálculo, não muito avançado, para descobrir cada valor das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, que são as mais utilizadas. Uma tabela com esses valores é disponibilizado para evitar esses cálculos.

Resolução:

Deverá dominar bem as funções trigonométricas para seno, cosseno e tangente, assim como regra de três simples e operações com números decimais.

$sen (\alpha)=\cfrac{cateto \quad oposto}{hipotenusa}$,     $cos (\alpha)=\cfrac{cateto \quad adjacente}{hipotenusa}$     e     $tan (\alpha)=\cfrac{sen (\alpha)}{cos (\alpha)}=\cfrac{cateto \quad oposto}{cateto \quad adjacente}$

Dados do problema:

• A medida da hipotenusa (escada) é informado no problema: 25 metros.
• O objetivo da questão é calcular a altura do prédio (valor de x). Então pode-se deduzir, que as funções mais adequadas para resolver questão é a função seno ou cosseno.
• Note que nesse caso não é informado a distância entre a escada e a base do prédio, onde poderíamos aplicar a função cosseno.
• A função mais conveniente será a função seno, pois é justamente o valor desconhecido do problema que é pedido, a altura do prédio (cateto oposto).

Calculando:

$sen (45º)=\cfrac{cateto \quad oposto}{hipotenusa}$

$sen (45º)=\cfrac{x}{25}$

$0,707=\cfrac{x}{25}$

$x=0,707 \cdot 25$

$x\cong 17,7$

Esse é o tipo de problema que pode variar de acordo com que é informado ou pedido no problema. Por exemplo, a distância da escada até a base do prédio, o comprimento da escada, os outros ângulos de inclinação entre a escada o prédio e o solo.

Existe, diversas situações que podemos aplicar essa pequenas funções trigonométricas.

Deixo um problema como exercício:

Um avião levanta vôo no ponto B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal (solo). A que altura estará e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio no ponto A situado a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27).

Desenhe o projeto deste problema no Geogebra. Salve-o na sua conta do Google Drive e compartilhe o arquivo para contato@prof-edigleyalexandre.com. Lembrando que o Google Drive dá suporte aos arquivos do GeoGebra.

Como medir a largura de um rio? (Topografia)

Este tipo de situação pode também ser mostrado usando semelhança de triângulos (vídeo). Neste caso, o entendimento se torna mais simples usando Trigonometria para descobrir a largura de um rio.

Observe o problema:

Dois topógrafos estão na mesma margem de um rio, separados 36 metros um do outro. Um deles observa uma pedra que está na outra margem, bem em frente ao seu companheiro. Com a ajuda de um teodolito, o observador verifica que a linha perpendicular que une a pedra ao colega forma um ângulo de 36º com  a linha de mira do teodolito à pedra. Qual é a largura do rio? (Dados: tan 36º = 0,727, sen 36º = 0,588 e cos 36º = 0,809)

Interpretando e resolvendo o problema

O primeiro passo que deve ser feito para encontrar a resposta para esse problema, é fazer um desenho geométrico desta situação e identificar os dados incluídos nele.

No desenho acima, destaca a distância entre os topógrafos, o ângulo de 36º e a largura do rio (x), que é o objetivo deste problema.

Após montar um esquema geométrica do problema, é hora de aplicar alguns cálculos usando razões trigonométricas: Seno, Cosseno ou Tangente.

Em determinadas situações essas razões são dependentes uma das outras. Neste caso, note que o valor da hipotenusa corresponde a linha de mira do teodolito, é desconhecido. Portanto podemos descartar duas razões trigonométricas: Seno e Cosseno. Pois elas necessitam diretamente da hipotenusa.

"Sobrou" a Tangente, que independe do valor da hipotenusa. Veja.

$tan (\alpha)=\cfrac{cateto \quad oposto}{cateto \quad adjacente}$

Substituindo os devidos valores para os catetos e o ângulo; e aplicando os princípio multiplicativo para resolver a equação do 1º grau, temos que:

$tan (36º)=\cfrac{36}{x}$
$0,727=\cfrac{36}{x}$
$0,727 \cdot x=36$
$x=\cfrac{36}{0,727}$
$x \cong 49,518$

A largura do rio é de, aproximadamente, 49,5 metros.

Assim como seus valores, o problema deve ser encarado de forma aproximada, já que estamos modelando um processo natural em um modelo matemático, assim como foi feito no vídeo linkado no começo deste tópico.

Deixo um problema como exercício:

O vento quebra uma árvore durante uma tempestade. A copa dessa árvore encosta no solo  a 10 metros de sua base. Sabendo que o ângulo formado entre a copa da árvore e o solo é de 30º, determine a altura da árvore.  (Dados: tan 30º = 0,577, cos 30º = 0,866)

Previsão do tempo (Meteorologia)

Nem sempre foi fácil prever tempestades, furações, tornados, um clima frio ou quente. Mas com o avanço da tecnologia, os meteorologistas conseguem, quase com exatidão, prever fenômenos naturais como os citados. E sem o uso da Matemática e sistemas computacionais, integrados a grandes radares e satélites, isso não seria possível.

Leia os artigos

• A equação dos Satélites Artificiais
• A Matemática por trás do GPS

No exemplo abaixo, podemos fazer mais uma aplicação matemática, usando Trigonometria. Observe o problema.

A determinação feita por um radar da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que se evitem turbulências, e, consequentemente, acidentes. Nesta condições determine a altura da nuvem detectada pelo radar de acordo com a figura abaixo. (Dados: sen 4º = 0,077, cos 4º= 0,998 e tan 4º=0,070 )

Assim como o problema do tópico anterior, a figura mostra que não há informação sobre a hipotenusa (distância do radar ao topo da nuvem) no triângulo retângulo. Desta forma descartamos a aplicação das razões trigonométricas Seno e Cosseno.

Considerando x, o cateto oposto (altura da nuvem em relação ao solo) ao ângulo de 4º e sabendo que 80 km corresponde a distância do radar a base da nuvem, podemos aplicar a razão Tangente para essa situação, assim:

$tan (4º)=\cfrac{x}{80}$

$0,070=\cfrac{x}{80}$

$x=0,070 \cdot 80$

$x = 5,6$

Portanto a altura da nuvem tem aproximadamente 5,6 km.

Não há outra maneira de aproximar o aluno pelo gosto pela Matemática, se não através de aplicações matemática concretas. Sejam elas teóricas como estes exemplos, ou fazendo uso das TICs ou ainda através de jogos manipuláveis e computadorizados.

Leia o artigo 5 dicas para as aulas de Matemática.

Despertar o interesse e a curiosidade no aluno pela matemática, é um dos principais desafios dos professores de Matemática, principalmente alunos de nível fundamental, que ainda não adquiriram certa maturidade matemática e abstração.