Fórmula de Bhaskara aplicada em dois problemas da vida real

Duas situações da vida real onde podemos aplicar a fórmula de Bhaskara (equação do 2º grau) para encontrar uma solução relevante.

A pergunta feita neste blog por alguém, assim como eu, que não teve a oportunidade de ver em momento algum, em sala de aula, uma só aplicação da fórmula de Bhaskara num problema da vida real, irei responder esta pergunta fazendo uso de dois flagrantes da vida real.

Flagrante da vida real I

Francisco, filho de um proprietário de uma frota de ônibus, frequentava a escola do Ensino Fundamental. Certo dia, numa aula sobre equação do 2º grau, o professor Sebá ensinou como achar o vértice da parábola. No fim da aula, o professor Sebá passou vários exercícios para casa. 

Francisco ao chegar em casa, sua mãe pergunta:

    

— Francisco, qual o dever de casa? Francisco responde:

— Achar as raízes da equação do 2º grau e o vértice da parábola. 

Marcelo, o pai de Francisco, ao ouvir falar em achar as raízes da equação do 2º grau e o vértice da parábola, diz:

— Na época em que estudei o 1º grau, nunca tive o menor interesse em achar as raízes da equação do 2º grau ou o vértice da parábola! 

—  Por que papai?

— Porque nunca tive a oportunidade de ver, em sala aula, uma só aplicação da equação do 2º grau num problema da vida real.  

— No final da aula, papai, o professor Sebá pediu aos alunos que não faltassem a próxima aula porque ia mostrar algumas aplicações da equação do 2º grau em problemas da vida real.

— Meu filho, pergunte ao professor Sebá se, por meio da equação do 2º grau, será possível eu conseguir obter a maior receita possível na  minha frota de ônibus?

—   E quais as informações, sobre sua frota de ônibus, que deverei fornecer ao professor Sebá?

— Anote aí: tenho uma frota de ônibus, e alugo cada ônibus para 40 ou mais passageiros. Se o número de passageiros for exatamente 40, cada um pagará $R\$ 350,00$. Haverá um abatimento de $R\$ 5,00$ para cada passageiro que exceder os $40$. Como a capacidade de cada ônibus é de $60$ passageiros, qual deverá ser o número de passageiros em cada ônibus, a fim de que eu obtenha a maior receita possível, ou seja, a receita máxima? Qual o valor da receita máxima?

Na aula seguinte, Francisco apresenta o problema ao professor Sebá. Ao lê-lo, o professor Sebá diz para a turma:

— Bem, pessoal, eu ia formular para vocês, um problema hipotético para ser resolvido por meio da equação do 2º grau, mas Francisco me apresentou um problema que seu pai formulou, relacionado com sua frota de ônibus. Vou ler o problema para vocês. Após lê-lo, o professor Sebá vai ao quadro-negro e escreve: 

Resolução:

Seja $R =$ Receita. Logo, $R=$ Número de passageiros vezes pagamento por passageiro. Se o número de passageiros passar de $40$ para $41$, então:

Pagamento por passageiro $= 350 – 5(41 – 40) = 350 – 5(1)$. 

Se o número de passageiros passar de $40$ para $42$, então: 

Pagamento por passageiro $= 350 – 5(42 – 40) = 350 – 5(2)$. E assim por diante. 

Se o número de passageiros for $x$, então:

Pagamento por passageiro $= 350 – 5(x – 40) = 350 – 5x + 200 = 550 – 5x$. Como $x$ corresponde ao número de passageiros, e a receita é igual ao número de passageiros vezes pagamento por passageiro, logo:

$R = x(550 – 5x)$ ou $R(x) = – 5x^{2} + 550x$

Vamos achar o valor de $x$ que dá o máximo à $R(x) = – 5x^{2} + 550x$ de duas maneiras: 

a) Por meio da fórmula de Bhaskara.

b) Por meio do vértice da parábola.

a) Vamos tirar, de $R(x) = – 5x^{2} + 550x$, os dados necessários para usar na fórmula de Bhaskara: 

Dados: $a = – 5$; $b = 550$ e $c = 0$.

Substituindo os dados na fórmula de Bhaskara, obtém-se:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x=\cfrac{-550 \pm \sqrt{550^{2}-4(-5)(0)}}{2(-5)}$

$x_{1}=0$ e $x_{2}=110$

Como o valor máximo (VM) de $R(x)$ é dado pela média entre as duas raízes, logo:

$VM=\cfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$VM=\cfrac{0+110}{2}$

$VM=55$

Portanto, $x = 55$ dá o maior valor à $R(x) = – 5x^{2} + 550x$. 

b) Já que a equação da receita é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de $x^{2}$ é negativo, então, a receita atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V\left ( \cfrac{-b}{2a},\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a} \right )$

$X_{v}=\cfrac{-b}{2a}$

$Y_{v}=\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a}$

Onde:
$V =$ Vértice da parábola
$X_{v} =X$ do vértice
$Y_{v} = Y$ do vértice
$\Delta = b^{2} – 4ac$

Como $a = – 5$ e $b = 550$, logo:

$X_{v}=\cfrac{-550}{2(-5)}$

$X_{v}=55$

Portanto: $x = 55$.

O professor Sebá volta-se para Francisco, e diz:

— Como $x$ corresponde ao número de passageiros, logo, para seu pai obter a maior receita possível, ele deve alugar cada ônibus para grupo de $55$ passageiros. Se seu pai alugar ônibus para grupo com menos de $55$ passageiros ou mais, a receita será menor.

Após a aula Francisco retorna a sua casa, e ao encontrar o pai, diz:

— Papai, o professor Sebá resolveu o seu problema!

— Mostre-me!

Marcelo ao ver a solução do problema, diz ao filho:

Nós empresários, meu filho, podemos estar certos de que, toda a matemática do 1º grau que aprendemos nas escolas “chatas” da vida, tem um valor incalculável para os problemas que nos defrontamos no dia a dia. 

São resultados que os seres humanos levaram centenas, milhares de anos para descobrir. No entanto, o empresário simplesmente não sabe, e muitos nem desconfiam, do quanto a Matemática pode ser-lhes útil. Se o empresário diplomado (ou não) tivesse noção do quanto desperdiça realizando um projeto sem aplicar Matemática, seu comportamento seria outro: procuraria um profissional competente em assuntos matemáticos.

— Por que um profissional competente em assuntos matemáticos?

— Porque, meu filho, a arte de aplicar a Matemática à vida, não é ensinada nas escolas “chatas” da vida, pela razão óbvia de os professores (a maioria) desconhecerem por completo, que a Matemática do Ensino Fundamental pode ser muito útil para qualquer atividade empresarial.

Imagem: www.freepik.com

Flagrante da vida real II

O filho de outro proprietário de uma frota de ônibus apresentou o seguinte problema ao professor Sebá: papai é proprietário de uma frota de ônibus e ele aluga ônibus para grupos de $35$ ou mais pessoas. Caso o grupo contenha exatamente $35$ pessoas, cada uma pagará $R\$ 60,00$. Para grupos maiores, ele reduz $R\$ 1,00$ de cada passageiro que exceder os $35$. 

Se a capacidade de cada ônibus for de $50$ passageiros, qual deverá ser o tamanho do grupo, a fim de que papai obtenha a maior receita por ônibus alugado, ou seja, a receita máxima? Qual o valor da receita máxima?

O professor Sebá vai ao quadro-negro e escreve: 

Resolução:

Designando a receita por $R$, obtém-se:

$R =$ número de pessoas do grupo vezes pagamento por pessoa          ${\color{Red} (1)}$ 

Seja $x$ o número de pessoas que excede $35$. Logo, teremos:

Número de pessoas do grupo $= 35 + x$             ${\color{Red} (2)}$

Pagamento por pessoa $= 60 – x$              ${\color{Red} (3)}$

Substituindo ${\color{Red} (2)}$ e ${\color{Red} (3)}$ na ${\color{Red} (1)}$, vem:

$R = (35 + x)(60 – x) = – x^{2} + 25x +2100$ ou $R(x) = – x^{2} + 25x +2100$ 

Vamos achar o valor de $x$ que dá o máximo à $R(x) = – x^{2} + 25x +2100$, de duas maneiras:

a) Por meio da fórmula de Bhaskara.

b) Por meio do vértice da parábola.

a) Vamos tirar, de $R(x) = – x^{2} + 25x + 2100$, os dados necessários para usar na fórmula de Bhaskara:

Dados: $a = – 1$; $b = 25$ e $c = 2100$.

Substituindo os dados na fórmula de Bhaskara, obtém-se:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x=\cfrac{-25 \pm \sqrt{25^{2}-4(-1)(2100)}}{2(-1)}$

$x_{1}=-35$ e $x_{2}=60$

Como o valor máximo $(VM)$ de $R(x)$ é dado pela média entre as duas raízes, logo:

$VM=\cfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$VM=\cfrac{-35+60}{2}$

$VM=12,5$

Portanto, $x = 12,5$ dá o maior valor à $R(x) = – x^{2} + 25x +2100$.

b) Já que a equação da receita é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de x^{2} é negativo, então, a receita atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

$V\left ( \cfrac{-b}{2a},\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a} \right )$

$X_{v}=\cfrac{-b}{2a}$

$Y_{v}=\cfrac{-(b^{2}-4ac)}{4a}$

Onde:

$V =$ Vértice da parábola

$X_{v} =X$ do vértice

$Y_{v} = Y$ do vértice

$\Delta = b^{2} – 4ac$

Como $a = – 1$ e $b = 25$, logo:

$X_{v}=\cfrac{-25}{2(-1)}$

$X_{v}=12,5$

Portanto, $x = 12,5$.

Ora, como $x$ é um número que representa pessoa, logo, $x$ deverá ser um número inteiro. Os dois números inteiros que dão o maior valor à $R(x)$, são os que estão antes e depois de $12,5$. 

Logo, $x = 12$ ou $x = 13$. Se não, vejamos: 

$R(12) = – (12)2 + 25(12) + 2100 = R\$ 2.256,00$ 

$R(13) = – (13)2 + 25(13) + 2100 = R\$ 2.256,00$

Resposta:

A fim de que seu pai obtenha a máxima receita, o grupo deverá conter $12$ ou $13$ pessoas além das $35$, ou seja, grupo de $47 = 35 + 12$ ou $48 = 35 + 13$. 

Resolução alternativa: 

Seja $x$ o número de pessoas do grupo:

Pagamento por pessoa $= 60 – (x – 35)$.

Já que $R =$ número de pessoas do grupo vezes pagamento por pessoa, logo, obtém-se:

$R = x [60 – (x – 35)] = – x^{2} + 95x$                ${\color{Red} (1)}$

Da ${\color{Red} (1)}$, temos: $a = – 1$ e $b = 95$. Logo:

$X_{v}=\cfrac{-95}{2(-1)}$

$X_{v}=47,5$

Portanto, $x = 47,5$. 

Já que $x$ é o número que representa pessoa, logo, $x$ deverá ser um número inteiro. Os dois números inteiros que dão o maior valor à ${\color{Red} (1)}$, são os que estão antes e depois de $47,5$. Logo, $x = 47$ ou $x = 48$. Se não, vejamos: 

$R(47) = – (47)2 + 95(47) = R\$ 2.256,00$ 

$R(48) = – (48)2 + 95(48) = R\$ 2.256,00$

Resposta.

A fim de que seu pai obtenha a máxima receita, o grupo deverá conter $47$ ou $48$ pessoas. A receita máxima será $R\$ 2.256,00$.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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