Economia de material usando equação do 2º grau

A equação do 2º grau nas atividades de um criador de galinhas

Sr. Antônio, após sua aposentadoria, resolveu negociar com galinhas. Do pouco capital que dispunha, comprou 50 metros de tela para construir um galinheiro. Ao comprar os 50 metros de tela, observou que com o dinheiro restante, daria para comprar 800 galinhas e, ainda, sobrariam alguns trocados.

No terreno, onde iria construir o galinheiro, havia duas paredes perpendiculares: uma com 20 metros de comprimento e a outra com 65 metros. Neste caso, o Sr. Antônio teria que cercar, apenas, dois lados do terreno. Já que iria comprar 800 galinhas, então, decidiu construir um galinheiro, deixando meio metro quadrado para abrigar cada galinha.

Com os 50 metros de tela, o Sr. Antônio construiu um galinheiro com as seguintes dimensões: 40 metros de comprimento por 10 metros de largura, ou seja, 400 metros quadrados. 

Decorridos alguns meses, Antônio fez um levantamento do capital, e constatou que estava havendo um bom retorno do capital aplicado. Então, decidiu comprar mais 450 galinhas. Já que à medida que ia vendendo as galinhas, imediatamente comprava outras tantas, logo, teria que construir um galinheiro para abrigar 1250 galinhas.

Ora, pensou Antônio: já que cada galinha ocupa meio metro quadrado do galinheiro, se eu comprar mais 450 galinhas terei que aumentar o galinheiro em 225 metros quadrados.

Como existe uma parede com 20 metros de largura e outra com 65 metros de comprimentos, logo, basta retirar os 10 metros de tela da lateral, prolongar 22,5 metros no comprimento e fechar a abertura com os 10 metros de tela retiradas da lateral.

Caso fosse realizado o seu plano, a área do galinheiro ficaria exatamente com 625 metros quadrados, isto é, 62,5 metros de comprimento por 10 metros de largura.

Supondo que Antônio iria comprar o metro linear de tela a R\$ 50,00, logo, para prolongar os 22,5 metros, iria gastar R\$ 1.125,00, ou seja, 22,5 vezes R\$ 50,00.

Quando Antônio decidiu realizar o seu plano, o Sr. Sebá que era professor de uma escola do Ensino Fundamental, disse-lhe:

— Sr. Antônio, com os 50 metros de tela existentes, sou capaz de aumentar a área, para abrigar as 1250 galinhas, sem ser necessário o senhor gastar R\$ 1.125,00, comprando mais 22,5 metros de tela.

— Mas isso é impossível, professor!

O professor respondeu:

— Sr. Antônio, vou mostrar ao senhor o quanto é importante a matemática do Ensino Fundamental. Vou demonstrar mais na frente, por meio da equação do 2º grau, que é matéria do Ensino Fundamental, que para cercar uma área retangular com um determinado comprimento (de arame, tela, etc.), quando já existem dois lados cercados, obtém-se a maior área quando os dois lados a serem cercados são iguais, ou seja, cada lado igual à metade do perímetro.

— E com essa sua teoria, professor, você acha que é capaz de aumentar o galinheiro, para abrigar as 1250 galinhas, com os 50 metros de tela existentes? — É claro! Respondeu o professor Sebá.

— Só acredito vendo!

— Ora, Sr. Antônio, basta que o senhor faça, com os 50 metros de tela existentes, um galinheiro quadrado, isto é, cada lado do galinheiro com 25 metros de tela. Neste caso, fica uma área com 625 metros quadrados. Como cada galinha ocupa meio metro quadrado, logo: 625 metros quadrados x 2 = 1250 galinhas.

Portanto, com o conhecimento da equação do 2º grau, que é matéria do Ensino Fundamental, o professor Sebá fez com que o Sr. Antônio economizasse R\$ 1.125,00 de material (tela). 

Suponha que você deseja cercar um terreno com tela para ciar galinhas. Sabendo-se que uma das larguras e um dos comprimentos já estão cercados, mostre que a menor quantidade de tela será utilizada, para cercar a maior área, quando os dois lados a serem cercados forem iguais (reveja o problema do criador de galinhas).

Demonstração:

Pelo enunciado do problema, pode-se construir a seguinte figura:

Seja $p$ o perímetro (soma dos lados a serem cercados), $x$ o lado menor a ser cercado, $y$ o lado maior a ser cercado e $A$ a área. 

O perímetro é: $p=x+y$. Tirando o valor de $y$ em função de $x$ e $p$, obtém-se:

$y=p-x$  $(1)$

      

A área é dada por: $A=x.y$  $(2)$

Substituindo a $(1)$ na $(2)$, vem:

$A=x.(p-x)=-x^{2}+p.x$   $(3)$

Como a $(3)$ é uma equação do 2º grau, logo,  $a=-1$  e  $b=p$.

$V_{x}=\cfrac{-p}{2.(-1)}=\cfrac{p}{2}$

Portanto, $x=\cfrac{p}{2}$

Substituindo na $(1)$, $x$ por $\cfrac{p}{2}$, temos:

$y=p-\cfrac{p}{2}=\cfrac{p}{2}$

Já que $x=y=\cfrac{p}{2}$, logo, a maior área será obtida, quando os dois lados, a serem cercados, forem iguais à metade do perímetro.

Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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