Como exibir apenas as assíntotas de uma função utilizando o GeoGebra?

Nessa postagem trago uma dica bem simples de como exibir apenas as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de uma função utilizando o GeoGebra. Nesse sentido o GeoGebra oferece a interatividade e o dinamismo em estudar a existência das assíntotas e assim esboçar o gráfico com perfeição, não deixando espaço para más interpretações causadas por desenhos feitos em papel.

Comecei a estudar Cálculo em 2004 e após encerrar a faculdade, não tive mais contato com Limite, Derivada e Integral. Dedico meus esforços aos pequeninos do Fundamental 2 e Ensino Médio, dando-lhe base matemática suficiente para seguir tranquilo em um curso de Cálculo caso precisem um dia.

Recentemente voltei a estudar (revisar) Cálculo, desta vez dando um reforço extra para o meu irmão que cursa Economia. Estudar Cálculo Diferencial e Integral é um desafio para ele e principalmente para mim, pois nunca ensinei Cálculo. Entender Cálculo é uma coisa, ensinar é totalmente diferente.

Para auxiliar em seus estudos sempre faço questão de utilizar o GeoGebra para mostrar o comportamento de funções de 1º e 2º grau, por exemplo, como mostrei nos artigos Applet para o estudo da função polinomial de primeiro grau com o GeoGebra e Estudo do sinal da função polinomial do 2º grau com o GeoGebra.

Nessa postagem trago uma dica bem simples de como exibir apenas as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas de uma função utilizando o GeoGebra. Nesse sentido o GeoGebra oferece a interatividade e o dinamismo em estudar a existência das assíntotas e assim esboçar o gráfico, não deixando espaço para más interpretações causadas por desenhos feitos em papel.

Se não conhece o GeoGebra recomendo que leia o artigo Entenda sobre as diferentes versões do software GeoGebra para desktop e dispositivos móveis.

Tome como exemplo o seguinte exercício para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função racional $y=\cfrac{x-9}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}$. Para encontrarmos as assíntotas horizontais devemos calcular o limite da função quando ela tende a $+\infty$ e quando tende a $-\infty$.

Assíntotas horizontais

O objetivo da postagem não é mostrar o cálculo do passo a passo desses limites, portanto temos:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty } \cfrac{x-9}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}=1$ (A. H.) - Reta paralela ao eixo X que passa por $y=1$.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty } \cfrac{x-9}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}=-1$ (A. H.) - Reta paralela ao eixo X que passa por $y=-1$.

Caso se interesse em resolvê-lo, a dica é: divida o numerador e denominador da função por $x$. Cuidado quando fazer isso quando $x\rightarrow -\infty$.

Assíntotas verticais

Para encontrarmos as assíntotas verticais devemos analisar quando o denominador da função é igual a zero, pois de trata de uma função racional, e, portanto, o seu denominador não pode ser zero.

Em vez de usar Bhaskara, fatore a equação $x^{2}+3x+2=0$. Assim temos:

$x_{1}=-1$ (A. V.)    ou   $x_{2}=-2$ (A. V.)

Esses são os valores que zeram o denominador da função. São as retas paralelas ao eixo Y que passam por $x_{1}=-1$ e $x_{2}=-2$. Para um gráfico manual, não esqueça de verificar quando o limite da função tende a $-1$ e $-2$ pela esquerda e pela direita.

Utilizando o GeoGebra para verificar as assíntotas

Supondo que você fez todo o passo a passo nos cálculos dos limites, fica a dúvida: será que errei?

Com a ajuda do GeoGebra você pode verificar se seus cálculos estão corretos ou errados e de quebra analisar melhor como se comporta a função em relação as suas assíntotas.

1º) Execute o GeoGebra.

2º) No Campo de Entrada localizado na parte inferior da janela, digite o comando Assíntota[<função>]. Quando digitar as primeiras letras aparecerão algumas opções logo acima e então escolha Assíntota [<função>]. Apague <função> e digite a função desejada. Se não estiver aparecendo o Campo de Entrada vá até ao menu Exibir o ative.

3º) Digite o comando para a função $y=\cfrac{x-9}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}$, dessa forma: Assíntota[(x-9)/( sqrt(x^2+3x+2))] (sqrt é o comando para raiz quadrada) e tecle ENTER.

4º) Será exibido as assíntotas horizontais e verticais da função.

5º) Se quiser exibir o gráfico da função, basta digitar o comando no Campo de Entrada: y=(x-9)/( sqrt(x^2+3x+2))

Como verificado, realmente temos:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty } \cfrac{x-9}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}=1$ (A. H.)

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty } \cfrac{x-9}{\sqrt{x^{2}+3x+2}}=-1$ (A. H.)

$x_{1}=-1$ (A. V.)

$x_{2}=-2$ (A. V.)

Se preferir você também pode testar com o Wolfram Alpha que calcula os limites laterais de funções.

Exercício: verifique com o GeoGebra se a função $y= \cfrac{x^{3}}{x^{2}+3x-10}$ tem assíntotas horizontais, verticais e oblíquas.