Equação de primeiro grau: problemas contextualizados resolvidos

A equação de primeiro grau pode ser aplicada em algumas situações do nosso cotidiano, através de resoluções de problemas bem simples.

Destaco nessa postagem como a equação de primeiro grau pode ser aplicada em algumas situações do nosso cotidiano através de problemas bem simples.

Identificar uma equação de primeiro grau, assim como seus elementos e variáveis, dominar o processo de resolução, são pré-requisitos básicos para um bom entendimento destas aplicações.

Não faz sentido desenvolver teorias matemáticas, se ela não servirá para alguma coisa. O desenvolvimento da Matemática contemporânea, tem se dedicado também para esse aspecto. Há séculos, grandes mentes como Fermat, Riemann, Poincaré, entre outros, deixaram espaço para a pesquisa em diversos campos da Matemática, que naquela época, não fazia muito sentido a aplicação de tanta Matemática pura.

O trabalho fornece alguma base para todo o desenvolvimento da informática e da Internet. Mostra como a teoria dos números pode ser usada para organizar grandes quantidades de informação de formas eficientes. [Leia o artigo Matemático húngaro ganha prêmio de 1 milhão de dólares]

A conjectura de Poincaré foi um teorema aparentemente insolúvel que foi proposto pela primeira vez em 1904. Lidando com um ramo da matemática espacial chamado topologia... A demonstração dessa conjectura poderá responder enigmas sobre o universo. [Leia o artigo O que faz um matemático rejeitar um prêmio de 1 milhão de dólares?]

Muitas das tecnologias desenvolvidas utilizando teorias matemáticas (celulares, wi-fi, internet, etc.), distanciam um pouco o aluno da relação matemática-aplicação, pois são conteúdos com um grau de complexidade mais elevado. Mas, mesmo assim é interessante ficar por dentro da ideia de tudo isso.

O que se pode fazer como alternativa mais próxima da vivência de cada estudante, é mostrar situações mais simples, de fácil compreensão, e que esteja diretamente ligado ao seu dia a dia, em casa, no seu lazer, trabalho, etc.

Veja as situações a seguir.

Problema 01

Carlos trabalha em um determinado setor numa indústria de carros. Ele recebe um salário fixo mensal de $R \text{\textdollar} 2 000,00$ mais $R \text{\textdollar} 15,00$ por hora extra trabalhada.

i) Como expressar uma fórmula matemática que represente o salário total de Carlos?

Primeiro passo para responder este item, é saber interpretá-lo, mesmo que seja fácil, e assim, montar a expressão com os dados extraídos do problema.

Denominar incógnitas (termos desconhecidos ou simplesmente letras) às informações obtidas, é um bom começo.

Informações (dados do problema):

• Salário total de Carlos: $S_{T}$
• Salário mensal fixo de Carlos: $R \text{\textdollar} 2.000,00$
• Taxa fixa por hora trabalhada: $R \text{\textdollar} 15,00$
• Tempo trabalhado em horas: $t$

O problema é bem simples e lendo-o na primeira vez, é possível escrever a expressão matemática:

$S_{T}=2000+15.t$

Ou seja, se Carlos não trabalhar em horário extra, automaticamente ele receberá apenas seu salário mensal de $R\text{\textdollar} 2.000,00$ ($t=0$).

Mas se trabalhar $1$ hora a mais, receberá $2015$.

$\\S_{T}=2000+15.1$

$\\S_{T}=2000+15$

$\\S_{T}=2015$

ii) Como montar um balanço dos salários de Carlos durante $1$ ano?

A planilha abaixo mostra a situação de acordo com os períodos de tempo trabalhados por Carlos.

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Baixe a planilha

E onde está o conceito de equação de primeiro grau por trás deste problema?

Uma equação de primeiro grau é toda expressão na forma $a.x+b=0$, onde $a$ tem que ser necessariamente diferente de zero, para que a equação seja de grau $1$.

Agora compare as duas equações:

$a.x+b=0$
e

$\\S_{T}=2000+15.t$

Em $a.x+b=0$, temos $a$ e $b$ como dois coeficientes, ou seja, representa dois números. Sendo que $a$, é coeficiente de $x$, que é a variável ou termo desconhecido da equação.

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Agora veja a equação $\\S_{T}=2000+15.t$, onde $2000$ é um número e $15$ logicamente também, sendo que $15$ é coeficiente de $t$. $S_{T}$ também é um número, que corresponde ao salário total de Carlos, nesta comparação de equações acima.

Portanto o problema trata de uma equação de primeiro grau. 

Problema 02

Quase todos os dias, Tiago pega um táxi para ir à casa da sua namorada, que fica a 20 km de distância. Os valores aplicados pelo taxista são: bandeirada: $R\text{\textdollar} 4,15$ e quilômetro rodado: $R\text{\textdollar} 2,15$ (bandeira 1). 

Quanto ele pagou na corrida em bandeira 1?
A cada 1 quilômetro rodado ele pagará, na bandeira 1, $R\text{\textdollar} 2,15$. Isso implica que em 20 quilômetros ele pagará 2,15 x 20 = 43,00, mais o valor da bandeirada que é de $R\text{\textdollar} 4,15$, resultará em:

$2,15.20+4,15=47,15$

A expressão acima mostra valores que variam de acordo a distância percorrida à casa da namorada de Tiago. $R\text{\textdollar} 2,15$ e $R\text{\textdollar} 4,15$ são os preços fixos nesta situação e 20 (distância) é o valor que varia. Ou seja, há uma equação por trás destes simples cálculos aritméticos. Veja o problema algebricamente:

Vamos nomear (usando incógnitas, letras, variáveis, como quiser) as informações encontradas no problema e montar uma equação geral que mostre as despesas de Tiago para visitar sua namorada.

Dados:

• Valor total a ser pago pela corrida: $y$
• Preço pela bandeirada: $R\text{\textdollar} 4,15$
• Preço por quilômetro rodado: $R\text{\textdollar} 2,15$
• Número de quilômetros rodados: $x$

Agora fica fácil escrever uma expressão matemática que mostra o valor total gasto por Tiago com o táxi.

$2,15.x+4,15=y$

comparando com a primeira expressão temos:

$2,15.20+4,15=47,15$

comparando com forma geral de uma equação de primeiro grau temos que:

$a.x+b=0$

2,15 é o coeficiente de $a$.

4,15 é o coeficiente de $b$.

20 corresponde a $x$, que é a variável (termo desconhecido), que, neste problema é a distância de percorrida pelo táxi.

Uma equação de primeiro grau te ajuda a encontrar sua amada, mesmo que saia um pouco caro (risos).

Problema 03

Newton tinha um saldo bancário positivo de $R \text{\textdollar} 1000,00$. Ao chegar no banco ele percebe em um aviso, que os caixas eletrônicos só fornecem cédulas de $R \text{\textdollar} 50,00$. O novo saldo de Newton em função da retirada de cédulas é igual a:

Este problema mostra como o saldo de Newton pode variar de acordo com o número de cédulas que ele saca de sua conta. Veja:

Dados do problema:

• Saldo atual de Newton: $R \text{\textdollar} 1000$
• Valor fixo em reais que podem ser sacados: $R\text{\textdollar} 50,00$
• Saldo final de Newton: $y$
• Número de cédulas sacadas: $x$

De posse destes dados é possível transformar esta situação é uma expressão matemática. Assim:

$1000-50.x=y$

ou
$y=-50.x+100=y$

Ou seja, se newton sacar 15 notas ($x$), seu saldo final será de $R\text{\textdollar} 250,00$ ($y$).

A expressão acima também mostra ser uma equação de primeiro grau na forma $a.x+b=0$.

É difícil não enxergar algum problema do nosso dia a dia, que não envolva uma equação de primeiro grau. Mesmo que uma pessoa não saiba que está aplicando a Matemática.