Como "nasce" uma fórmula matemática?

Uma fórmula matemática não é apenas uma expressão algébrica recheada de letras, números e símbolos. Dependendo de sua complexidade, ela trás conceitos simples e abstratos, condições de existência e que necessita de pré-requisitos para compreendê-la e manuseá-la.

Esta foi a pergunta que ouvi de um dos meus alunos no finalzinho do 4º bimestre de 2014. Confesso que fiquei surpreso com a pergunta, pois se trata de um aluno do 6º ano do Ensino Fundamental 2 (não subestimei, apenas é incomum). Ser professor não é nada fácil. Perguntas como estas aparecem quando você menos espera.

Leia depois da imagem, a minha explicação e outras orientações, assim como alguns detalhes sobre o surgimento de uma fórmula matemática e as ferramentas necessárias para isso.

A explicação

Dar explicações sobre temas complexos para crianças sem um certo amadurecimento matemático em uma determinada série, é uma tarefa muito difícil, porém com um pouco de esforço é possível construir argumentos que possam ser entendidos (sem cálculos).

Em vez de dar uma explicação definitiva sobre sua dúvida, lhe dei uma tarefa. Não exigi respostas com cálculos e a ajuda de ninguém. Pedi apenas que levasse o problema para casa e pensasse nele por algum tempo. Pedi que no dia seguinte voltasse com uma sugestão ou alguma ideia lógica para resolver o problema.

Você pode ter mil fórmulas matemáticas, mas se não tiver uma ideia para a resolução de um problema, de nada adianta conhecer as fórmulas matemáticas.

A tarefa

Você tem um computador? Sabe o quanto ele consome de energia? Sabe o preço que seus pais pagam pelo consumo de energia do seu computador? A conta de luz da casa que você mora é cobrada de acordo com o tempo de uso de todos os aparelhos conectados a energia elétrica (isto chama-se consumo). A empresa que fornece a energia também cobra uma quantia por usar a energia (isso chama-se taxa de iluminação). E ainda há uma outra quantia a ser paga chamada de tarifa/preço.

Agora imagine que seu computador tenha uma potência de 300 watts. Supondo que você usa o seu computador 7 horas por dia, quanto custará a energia que consumiu? E quanto para a TV? E a geladeira, microondas, lâmpadas, DVD player Blu-Ray, ar condicionado, etc.?

***

Inocentemente ele pegou a atarefa escrita em papel, e encerramos a conversa.

A resposta do aluno

Professor, eu pensei muito neste problema e não consegui entendê-lo muito bem. Meu pai quis me ajudar, mas eu não deixei. Eu peguei a conta de luz e vi muitos números e leituras do consumo de energia. O que tem a ver as fórmulas matemáticas que vejo no livro do meu irmão, com a conta de luz da minha casa? O que tem a ver o meu computador com uma fórmula matemática?

A minha resposta

Eu sabia que não iria realizar a tarefa. São muitas informações ao mesmo tempo para você processá-las e entendê-las. Depende de conteúdos que você ainda irá estudar. O que quis mostrar com essa tarefa é que, na maioria das fórmulas matemáticas são criadas da necessidade do ser humano em resolver um problema real. Isso acontece com a Física, Química, Biologia, etc., cujas fórmulas são baseadas em experimentos.

Na Matemática nem sempre uma fórmula matemática é deduzida, fazendo experiências em laboratório. No 8º ano lembraremos desta conversa e te darei exemplos teóricos.

Não entrando em contradição, a Matemática é a única linguagem que permite escrever todas as nossas necessidades em equações ou fórmulas matemáticas. Estas fórmulas não são criadas da noite para o dia. Algumas delas são desenvolvidas baseando-se em experimentos práticos (na Física por exemplo), em seguida uma fórmula matemática poderá surgir, e, por fim, o seu criador terá que provar que a sua fórmula matemática é verdadeira para qualquer problema que ela pode ser aplicada. Ele pode fazer isso sozinho ou com a ajuda de outras pessoas.

Séculos de estudos evoluíram a linguagem matemática e suas fórmulas,  com aplicações fantásticas até os dias de hoje.

Imagem: Wikipédia (fórmula comentada durante a conversa)

Este problema que te enviei não pretendia te ensinar a criar fórmulas matemáticas. Apenas tentar abrir o seu pensamento. É muito difícil olhar para alguma coisa que vemos todos os dias, e não enxergar que ali, há matemática. Você ainda não tem maturidade matemática para enxergar isso.

Porém, me deixou feliz fazendo esta pergunta,  pois você já tem uma qualidade muito importante que todo cientista tem:  a curiosidade. Eles adoram fazer perguntas e buscar respostas incansavelmente. Geralmente as respostas finais estão em linguagem matemática, isto é, uma fórmula matemática, uma equação.

Você não precisa entender agora, que o consumo de energia elétrica do seu computador é calculado, multiplicando a potência do seu computador pelo tempo que você o utiliza. Em linguagem matemática seria assim: $W=P \times T$. Estas letras representam:

$W$ - energia consumida (Wh);

$P$ - potência do eletrodoméstico (Watts);

$T$ - tempo de utilização (hora).

Supondo que o seu computador tenha 300 watts de potência e que você usa-o 7 horas por dia, o cálculo seria este:

$W=P \times T$

$W=300 \times 7$

$W=2100 wh$

Se você verificar a conta de luz da sua casa, perceberá que o consumo mensal não está em $Wh$ (watt-hora) e sim em $Kwh$ (quilowatt-hora). $1 kwh$ é a quantidade de energia utilizada para alimentar uma carga com potência de $1000$ watts pelo período de 1 hora (é uma medida padrão adotada). 

Portanto, basta que divida este valor por $1000$.

$W=2,1 Kwh$

É óbvio que, quanto mais você usar o computador, o consumo de energia será maior. Quanto menos você usar o computador, menor será o consumo de energia. E ainda temos a tarifa/preço cobrada de acordo com o consumo (se é residencial, empresarial, baixa renda, etc.), para determinar quanto pagará pelo consumo mensal de energia.

Quem criou esta simples fórmula, não fez isso por acaso, acredito que realizou diversas experiências (a maioria delas são baseadas em outras experiências que deram certo ou errado) até concluir este resultado. Podemos fazer a mesma coisa. Partimos de experimentos simples e criamos uma fórmula matemática simples.

***

Entendi o que quis passar professor, mesmo que ainda tenha que estudar sobre estas transformações. É que meu irmão reclama que o professor começa a aula, escreve uma fórmula no quadro e manda os alunos usarem para resolver problemas. Entende porque perguntei isso?

Como "nasce" uma fórmula matemática?

Ela pode "nascer" de um insight (uma intuição)? Sim. Um brilhante matemático chamado Srinivasa Ramanujan tinha uma intuição fora do comum que gerava teoremas brilhantes. Um filme sobre sua vida foi lançado em 2015. Escrevi um pouco sobre ele em "O homem que viu o infinito" conta a verdadeira história de um gênio matemático: Srinivasa Ramanujan. O filme está disponível no Netflix.

Uma formula matemática pode surgir de um experimento? Sim. Pode ser criada em consequência de outra fórmula? Sim. Toda fórmula matemática é verdadeira? Depende  de uma demonstração rigorosa.

Uma fórmula matemática não é apenas uma expressão algébrica recheada de letras, números e símbolos. Dependendo de sua complexidade, ela traz conceitos simples e/ou abstratos, condições de existência e que necessita de pré-requisitos para compreendê-la e manuseá-la. A sua fluência em Matemática é importante para ler e compreender.

Fórmulas matemáticas devem ser demonstradas para que sejam aceitas como verdadeiras. Neste caso, uma comunidade mundial formada por matemáticos renomados, verificam sua veracidade. Para provar que as fórmulas são verdadeiras ou não, os matemáticos utilizam técnicas rigorosas afim de demonstrar definitivamente se uma fórmula matemática (uma equação, inequação, etc.) está correta, tem falhas, ou está totalmente errada. Algumas técnicas são:

• Prova direta: a conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes.
• Prova por indução: um caso base é provado e uma regra de indução é usada para provar uma série de outros casos (normalmente infinita).
• Prova por contradição: é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso.
• Prova por construção: consiste em construir um exemplo concreto com determinada propriedade para mostrar que existe algo com tal propriedade.
• Prova por exaustão: a conclusão é estabelecida dividindo o problema em um número finito de casos e provando cada um separadamente.
• Prova por força bruta: é o método que consiste em provar algum teorema (ou apresentar algum contra-exemplo) pelo método exaustivo de calcular cada caso possível.

Visite a página no Wikipédia para ver exemplos das técnicas mais comuns.

Se você quiser entender e até mesmo desenvolver fórmulas matemáticas (mesmo que já existam), comece pela Geometria, pois torna-se mais fácil (desde que domine alguns postulados) deduzi-las quando construímos figuras geométricas e podemos analisar cada passo a ser seguido, através de desenhos. Por exemplo, a área de um triângulo equilátero.

Fazendo isso, você adquirirá um poder de abstração maior na interpretação de leis matemáticas e na aplicação na resolução de problemas.

Recomendo que leia o artigo Demonstrações abstratas nas aulas de Matemática. Sim ou não? E também o artigo Pare de ser ingrato com a Matemática. Até você é fruto de uma equação!

A história das fórmulas matemáticas

Eis uma ÓTIMA dica de livro. Aproveitando este tema, se você puder comprar este livro, recomendo fortemente.

Título do livro: As grande equações - A história das fórmulas matemáticas mais importantes e os cientistas que as criaram.

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Faraday: “Sim, senhor. Algum dia o senhor cobrará impostos sobre isso.” Se Faraday realmente disse isso, estava certo. James Clerk Maxwell transformou as observações experimentais iniciais e as leis empíricas sobre magnetismo e eletricidade num sistema de equações para o eletromagnetismo. Entre as muitas consequências figuram o rádio, o radar e a televisão. [Ian Stewart em 17 equações que mudaram o mundo]

Sobre a sua conta de luz, utilize este simulador online ou a planilha para o Excel logo abaixo. Precisará ativar o java em seu navegador.

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Na Matemática Pura, as fórmulas tem sua beleza incontestável. Equações curtas ou longas trazem um significado abstrato, que muitas vezes escapa do nosso entendimento. Na Matemática Aplicada elas ganham um status de celebridades, dependendo do que elas se propõem a fazer.

Todas as leis físicas, químicas, biológicas, etc., criadas a partir do nosso universo observável, foram quantificadas em fórmulas matemáticas, que auxiliam nas buscas de respostas, para as perguntas mais antigas da história da humanidade.

Desrespeitar a sua existência, a sua importância e a sua aplicação, é uma ignorância intelectual imensurável, digna de pessoas sem o mínimo de senso crítico.

Por que equações?

As equações têm a reputação de ser algo assustador: os editores de Stephen Hawking lhe disseram que cada equação faria cair pela metade as vendas de Uma breve história do tempo, mas ignoraram o próprio conselho e permitiram que ele incluísse $\mathit{E=m.c^2}$, quando se a houvessem cortado, supostamente teriam vendido mais 10 milhões de exemplares. Estou do lado de Hawking. Equações são importantes demais para serem escondidas. Mas os editores também tinham razão em um ponto: elas são formais e austeras, parecem complicadas, e mesmo aqueles que adoram equações podem ficar desconcertados se bombardeados por elas. As equações têm um papel fundamental na criação do mundo de hoje, desde a cartografia até a navegação por satélite, da música à televisão, da descoberta da América à exploração das luas de Júpiter. Felizmente, você não precisa ser um gênio para apreciar a beleza e a poesia de uma boa e significativa equação. [Ian Stewart em 17 equações que mudaram o mundo]