10 argumentos matemáticos de que 0,999... é igual a 1

Basta começar as aulas sobre dízimas periódicas e uma das perguntas mais esperadas pelo professor logo surge de um aluno: 0,999... é igual a 1?

Basta começar as aulas sobre dízimas periódicas e uma das perguntas mais esperadas pelo professor logo surge de um aluno: 0,999... é igual a 1?

Alguns desses argumentos apresentados nessa postagem podem facilmente ser aplicados nas aulas de Matemática do 8º ano do Fundamental 2, já outros podem ser compreendidos apenas por quem estudou um pouco de Matemática superior.

Para efeito de curiosidade matemática destaquei 10 argumentos matemáticos de que 0,999... é igual a 1. Antes de lê-los atente para as observações a seguir.

Observações preliminares

1. Todos os números apresentados nesses argumentos são expansões decimais convenientes em cada exemplo.
2. São argumentos baseados em axiomas matemáticos.
3. Operações que envolvem Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão.

Exemplos:

• $1=1,0000...$
• $153=153,0000...$
• $\cfrac{1}{3}=0,333...$
• $\pi=3,14159265...$

Axiomas matemáticos em $\mathbb{R}$ (Reais):

• Associatividade: para quaisquer $x,y,z \in \mathbb{R}$ tem-se $(x+y)+z=x+(y+z)$ e $(x.y).z=x.(y.z)$.
• Comutatividade: para quaisquer $x,y \in \mathbb{R}$ tem-se $x+y=y+x$ e $x.y=y.x$.
• Elementos neutros: Existem em $\mathbb{R}$ dois elementos distintos $0$ e $1$ tais que $x+0=x$ e $x.1=x$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$.
• Inversos: todo $x \in \mathbb{R}$ possui um inverso aditivo $-x \in \mathbb{R}$ tal que $x+(-x)=0$ e, se $x\neq 0$, existe também um inverso multiplicativo $x^{-1} \in \mathbb{R}$ tal que $x.x^{-1}=1$.
• Distributividade: para quaisquer $x,y,z \in \mathbb{R}$ tem-se $x.(y+z)=x.y+x.z$.

Acompanhe os argumentos nos tópicos a seguir.

Argumento 1: Associatividade da Adição

$0,999... = 0,999... + 0$  (Elemento Neutro da Adição)

                     $= 0,999... + (0,999... - 0,999...)$ (Inverso aditivo)

                     $= (0,999... + 0,999...) - 0,999...$ (Associatividade)

                     $= 1,999... - 0,999...$ (Subtração)

                     $= 1,000...$

Argumento 2: Expansão decimal

Qualquer número real pode ser escrito como uma expansão decimal em pelo menos uma maneira. Além disso, para quaisquer dois números reais diferentes, você pode escolher um terceiro número que está entre eles.

Então, se $0,999...$ e $1,000...$ fossem números diferentes, então seria possível encontrar um número que está entre eles, e escrevê-lo.

Mas é impossível escrever a expansão decimal de um número entre $0,999...$ e $1,000...$ Eles não podem ser números diferentes. Portanto, eles são o mesmo número. Esse argumento não funciona com números inteiros.

Não há nenhum número inteiro entre 3 e 4, mas eles não são iguais. Conjuntos diferentes de números têm propriedades diferentes. Estamos olhando números reais, não números inteiros. Há uma infinidade de números reais entre 3 e 4.

Argumento 3: Valor intermediário

Supondo que $x<y$, então há um valor intermediário entre eles, $x<\cfrac{x+y}{2}<y$.

Se definirmos $x=0,999...$ e $y=1,000...$, encontramos:

$\cfrac{x+y}{2}=\cfrac{0,999...+1,000...}{2}=\cfrac{1,999...}{2}=0,999...$.

E sabemos que $x=0,999...$. Isso é uma contradição. Portanto, a suposição inicial, $x<y$, deve ser falsa. Em vez disso, $x=y$, ou seja, $0,999...=1,000...$.

Argumento 4: Subtração

Se a diferença entre dois números for zero, então eles são iguais. Por exemplo, se $x-(+5)=0$, então $x=+5$. A diferença entre $1,000...$ e $0,999...$ é: $1,000... - 0,999 ... = 0,000...=0$

Portanto, eles são iguais.

Pergunta: Mas naquele primeiro passo, você já está assumindo $1=0,999...$?

Não. Estou apenas fazendo uma simples subtração.

Pergunta: Mas $0,000...$ não deveria ter um $1$ no final? Não, não deveria. Não faz sentido ter um $1$ em $0,000...$

O "$...$" significa que cada dígito decimal é $0$.

Argumento 5: Multiplicação

Fazendo $x = 0,999...$, multiplique ambos os lados por $10$.

Teremos: $10x = 9,999...$

Agora subtraia $x$ de ambos os lados.

Teremos: $10x - x = 9,999... - x$.

E como $x = 0,999...$, teremos:

$10x -x=9,999...-0,999...$.

Fazendo a subtração, teremos: $9x=9,000...$.

Agora divida ambos os membros por $9$.

Teremos: $x=1,000...$

Argumento 6: Série geométrica

$0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...$

                      $={\displaystyle \sum_{n=0}^{n=\infty} (0,9).(0,1)^{n}}$

                      $={\displaystyle \sum_{n=0}^{n=\infty}a_{1}.r^{n}}$

Onde $a_{1}=0,9$ (primeiro termo) e $r=0,1$ (razão)

                      $=\cfrac{a_{1}}{1-r}$
                      $=\cfrac{0,9}{1-0,1}$
                      $=\cfrac{0,9}{0,9}$
                      $=1$

Argumento 7: Limites

$0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...$

                      $= 9·0,1 + 9·0,01 + 9·0,001 + 9·0,0001 + ...$

                      $= 9.10^{-1}+9.10^{-2}+9.10^{-3}+9.10^{-4}+...$

                      $={\displaystyle \sum_{n=1}^{n=\infty}9.10^{-n}}$

                      $={\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}}{{\displaystyle \sum_{n=1}^{n=N}9.10^{-n}}}$

                      $={\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}}{(9.10^{-1}+9.10^{-2}+...+9.10^{-N})}$

                      $={\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}}{(9.0,1+9.0,01+...+9.0,000...0001)}$
                                                                                                           N dígitos

                      $={\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}}{(0,9+0,09+...+0,000...0009)}$
                                                                                                N dígitos

                      $={\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}}{(0,999...999)}$
                                               N noves

                      $={\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}}{(1-0,000...0001)}$
                                                            N dígitos

                      $={\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}}{(1-10^{-N})}$

                      $={\displaystyle \lim_{N\rightarrow \infty}}{1}-{\displaystyle\lim_{N\rightarrow \infty}}{10^{-N}}$

                      $=1-0$

                      $=1$

Argumento 8: Contradição

Prova por contradição: é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso. [Ver outras provas em Como "nasce" uma fórmula matemática?]

Obviamente:
$0,999... \leqslant  1$

Assuma:
$0,999...\neq 1$       $(1)$

Então:
$0,999...< 1$

Dessa forma deve existir algum número positivo $N$ tal que: $0,999... + N = 1$.

Mas, para qualquer positivo $N$, $0,999... + N > 1$, que é uma contradição, e definitivamente errado. Portanto, somos forçados a concluir que o pressuposto $(1)$ estava incorreto, ou seja: $0,999... = 1$

Argumento 9: fração óbvia

$\cfrac{1}{3}=0,333...$
     $1=\cfrac{3}{3}$
     $=3.\cfrac{1}{3}$
     $=3.0,333...$
     $=0,999...$

Argumento 10: sem prova

Não há provas de que $0,999... \neq 1$.

Contra argumentos e minhas respostas

Vejamos algumas alegações contra os argumentos apresentados aqui.

"0,999... e 1 são números obviamente diferentes."

Na matemática, o "óbvio" significa "uma prova imediatamente vindo à mente". Se você não tem uma prova em mente, então, infelizmente, nenhuma declaração matemática que você faz tem qualquer peso.

"1 e 0,9999 ... são escritos de formas diferentes, portanto, são números diferentes".

Há muitas maneiras de escrever qualquer número. Você poderia escrever $\cfrac{1}{1}$, ou $3-2$, ou $1,0$, ou $1,00$, ou $1,0000...$ ou qualquer número de outras expressões, e todas elas acabam por ter o mesmo significado, "um".

"0,999... é um conceito, não um número."

Todos os números são conceitos.

"0,999... não pode existir na realidade, mas eu posso, portanto, eles são diferentes."

Só porque um número não pode "existir na realidade" não significa que ele não pode existir na matemática. Porque $1 = 0,999...$, isso significa que $0,999...$ "existe na realidade" exatamente na mesma extensão que $1$ faz.

"Há um erro de arredondamento. $0,999...$ e $1$ são aproximadamente iguais."

Erros de arredondamento ocorrem somente quando truncamos uma expansão decimal após um número finito de dígitos. Todas as provas acima usam a notação "..." em cada passo, o que significa que sempre levamos em conta todos os infinitos dígitos decimais. Não há arredondamento, o que significa que não há erro.

"$0,999...$ fica cada vez mais perto de 1, mas nunca chega a ele."

$0,999...$ é um número único. Ele não se move, por isso não pode ficar mais perto e mais perto de nada. É onde está.

"$0,999...$ é uma representação decimal do infinito, não um número."

$0,999...$. é definitivamente menor do que 2, então não pode ser infinitamente grande.

"Os seres humanos não podem compreender o infinito, e não ser capaz de compreender o infinito significa que você não pode fazer matemática com ele."

Os seres humanos podem compreender o infinito. Matemáticos fazem isso o tempo todo. Infinito obedece regras. Se algo obedece regras de forma consistente, então você pode fazer matemática com ele. A aritmética ordinal é um bom exemplo.

No caso de a conexão não ser clara, o que é verdadeiro para valores infinitos é igualmente verdadeiro para expansões decimais infinitas. Existem regras e procedimentos que funcionam e dão resultados significativos. Veja "A Prova Real" acima para um vislumbre relativamente tímido disto, que é na verdade uma vasta região de matemática conhecida como " análise ", naturalmente baseada em axiomas fundamentais sólidos.

"O infinito não está bem definido."

Sim.

"Meu amigo, meu pai, meu professor de matemática e Stephen Hawking me disseram que $0,999...$ e $1$ eram números diferentes."

Eles estavam errados.

- Mas eles provaram isso também.

A prova era falaciosa.

"Eu ainda não acredito e tenho direito à minha própria opinião."

Ok!

Uma teoria é proposta para explicar as observações, e pode ser derrubada à luz de novas observações inexplicáveis. Múltiplas teorias e opiniões podem competir entre si.

Na matemática, temos teoremas em vez de teorias. Um teorema é o resultado de uma prova matemática. Um teorema é um fato. Um teorema não pode ser anulado e não é uma questão de opinião. Uma vez provado, um teorema representa a eternidade. A matemática não é ideológica.

Portanto, sua opinião é errada. E desculpe, mas não: você não tem direito a estar errado em matemática. Não é assim que funciona.

Fonte de apoio: Wikipédia.org.

Recomendação de leitura.

Propriedades da expansão decimal.

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