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Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Qual a razão para essa ordem?

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Já experimentou perguntar ao seu professor: por que? É claro que essa é a forma mais usual e rápida de dividir frações. No entanto é importante mostrar ao aluno (principalmente de 6º ano) que esse processo tem a sua justificativa.

É a sua primeira aula sobre divisão de frações e o professor larga essa no quadro:

Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Pronto! Agora resolva essas divisões sempre dessa forma e nunca errará.

É verdade, talvez nunca errará. Mas já experimentou perguntar ao seu professor: por que? É claro que essa é a forma mais usual e rápida de dividir frações. No entanto é importante mostrar ao aluno (principalmente de 6º ano) que esse processo tem a sua justificativa. Se você nunca ouviu ela antes, recomendo que leia a postagem que mostra o passo a passo dessa justificativa.

Acredito que quando o processo matemático é mostrado da forma correta e rigorosa, alguns macetes fazem sentido e se tornam mais fáceis de absorvê-los.

Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Qual a razão para essa ordem?

Antes de justificar a divisão de duas frações para a frase citada aqui, precisamos voltar para as aulas sobre frações equivalentes e frações inversas. Lembra? Você não pode estudar divisão de frações antes.

Fração equivalente

São frações que representam a mesma parte do todo. Para encontrar frações equivalentes basta multiplicar o numerador e denominador pelo mesmo número natural (6º ano), desde que o número seja diferente de zero.

Exemplo 1: encontrar uma fração equivalente a $\cfrac{5}{6}$.

Multiplicando o numerador e o denominador por $3$, temos: $\cfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3}=\cfrac{15}{18}$. Portanto $\cfrac{15}{18}$ é equivalente a $\cfrac{5}{6}$.

Se a fração apresenta numerador e denominador um pouco mais altos você pode também escrever frações equivalentes para ela, dividindo o numerador e denominador pelo mesmo número (simplificação de fração).

Exemplo 2: encontrar uma fração equivalente a $\cfrac{25}{125}$.

Dividindo o numerador e o denominador por $5$, temos: $\cfrac{25 \div 5}{125 \div 5}=\cfrac{5}{25}$. Portanto $\cfrac{5}{25}$ é equivalente a $\cfrac{25}{125}$.

Fração inversa

Sendo bem direto, são as frações cujo produto é igual a $1$.

Exemplo: A fração inversa de $\cfrac{5}{6}$ é $\cfrac{6}{5}$, pois $\cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{6}{5}=\cfrac{30}{30}=1$. A fração inversa de $\cfrac{4}{3}$ é $\cfrac{6}{8}$, pois $\cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{6}{8}=\cfrac{24}{24}=1$.


Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Por que?

Para exemplo tomamos a divisão $\cfrac{7}{5} \div \cfrac{3}{2}$. Para melhor entendimento essa divisão será escrita como fração, onde $\cfrac{7}{5}$ é o numerador e $\cfrac{3}{2}$ é o denominador.

Assim: $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$. Agora aplique o que aprendeu sobre fração equivalente e fração inversa da seguinte forma.

1º) Fração equivalente:

Multiplique o numerador e o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ por outra fração, desde que o denominador resulte em $1$ após a multiplicação.

2º) Fração inversa:

A única forma de isso acontecer é quando multiplicamos o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ pelo seu inverso, ou seja, o inverso de $\cfrac{3}{2}$ é $\cfrac{2}{3}$.

Portanto, multiplicando o numerador e o denominador da fração $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ por $\cfrac{2}{3}$, temos: $\cfrac {\quad \cfrac { 7 }{ 5 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } \quad}{\quad  \cfrac { 3 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } \quad} =\cfrac {\quad  \cfrac { 14 }{ 15 } \quad}{\quad  \cfrac { 6 }{ 6 } \quad} =\cfrac {\quad  \cfrac { 14 }{ 15 } \quad}{1} =\cfrac { 14 }{ 15 }$.

Perceba o que acontece com o denominador da fração  $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ quando foi multiplicado por $\cfrac{2}{3}$. Resultou em $1$. Sobrando apenas o numerador de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ vezes o inverso de $\cfrac{2}{3}$.

E como toda divisão por $1$ resulta no próprio número, o resultado da divisão de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ se resume em multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração, já que o denominador de $\cfrac{\quad \cfrac{7}{5} \quad}{\quad \cfrac{3}{2} \quad}$ é $1$, quando aplicada a propriedade de fração equivalente e inversa.

Particularmente prefiro essa justificativa do que essa na imagem abaixo.

Sugestão: esse processo pode ser mais facilmente compreendido, quando explicado em seu passo a passo em sala de aula. Produza um vídeo explicando esses fatos. Tenho a certeza que ele terá muitos acessos.

Pergunta feita em um canal no Youtube
Pergunta feita em um canal no Youtube

COMENTÁRIOS

Comentaristas: 14
  1. Sinceramente não achei nada facil explicar tudo isso ao um aluno de 6 ano!!consigo imaginar as caras!!

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    1. Olá, Márcia!

      Sei que não é fácil. Depende muito do esforço do professor em trabalhar esse conteúdo. O que essa postagem trata é da justificativa para uma frase decorada comumente usada.

      Essa mesma explicação sendo em sala de aula ou em uma vídeo aula seria mais fácil de compreender.

      Abraço!

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    2. Olá Edigley! Muito boa essa postagem. Em parte até concordo com a Márcia, mas se faz necessário mostrar-lhes o por que do que mostramos a eles em sala de aula, seja na lousa, através de vídeos ou mesmo com slides, para que eles aprendam de verdade e possam gostar de estudar matemática. Nesse caso acredito que na forma de slides daria para desenvolver bem o conteúdo e fazer com que eles compreendessem tal justificativa. Valeu!!!

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    3. Olá, Luiz! Entendo.

      Vale lembrar que a postagem não dedicada exclusivamente para alunos. Não é uma aula. Ela serve para professores. Pesquisei diversos vídeos no youtube e todos que assisti não vi essa justificativa, o que vi foi apenas uma frase para decorar e sem justificativa.

      Abraço!

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  2. Opa, Edigley! O material do Estado de SP também ensina desse jeito. Só uma tenho outra visão e gostaria que você avaliasse.
    Posso dizer:
    Vamos transformar essa divisão em uma multiplicação. Para isso, como invertemos a operação, multiplicamos o numerador pelo denominador invertido.
    Seria um macete? Passei a explicar desse jeito, já que não ensino mais o 6º ano.
    Obrigado pelas postagens!

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    1. Olá, Rafa!

      A frase que citei no início da postagem é um macete sim. Não é errado usar macetes, alguns até ajudam muito. No entanto o meu alerta é sobre a importância de mostrar a justificativa matemática correta e não apenas dizer que é assim e pronto.

      Abraço!

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  3. Professor, não sou professor mas buscava essa resposta há anos. Muito obrigado, muito obrigado. Agora a minha busca será entender o que é realmente a divisão de fração por outra fração.

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  4. Obrigado pelo artigo! Seria possível fazer algo em relação a multiplicação de frações? A multiplicação de numeros inteiros por frações acho intuitivo, já a multiplicação entre frações creio que precisaria de uma demonstração... obrigado

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    1. Olá, Arthur!

      Obrigado pelo comentário.

      Quando a multiplicação, a ideia intuitiva vem da adição. Em breve posso fazer um artigo. Neste momento de pandemia e aulas remotas, tem sugado muito do meu tempo.

      Um abraço!

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  5. Olá tudo bem? Sou aluna,obrigada pela explicação não se encontra tão facilmente o porquê por trás das contas na matemática obrigada pelo seu conteúdo. Fiquei com duas dúvidas:
    1:Por que se deve multiplicar a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador ao invés de se multiplicar somente o denominador pelo inverso dele mesmo?
    2: Deve-se multiplicar o denominador e o numerador pelo seu inverso e assim o a fração no denominador se torna 1 mas por que ela deve se tornar 1?

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    1. Olá, Raquel! Tudo na paz por aqui. Espero que por ai também.

      Primeiro reconheço que explicar esse fato em texto, mesmo com Latex, nao é fácil em termos de entendimento para o estudante. Abordei neste artigo, principalmente pelo fato de alguns professores ensinarem de forma errada ou ensinam logo com macetes sem primeiro mostrar a forma correta matemática e rigorosa.

      Respondendo agora... mas resposta em vídeo seria melhor. Eu vou criar coragem para começar a gravar vídeos hahaha

      A resposta abaixo responde as duas perguntas que fez.

      Porque ao aplicar a propriedade inversa e tendo entendido sobre fração equivalente, teremos a divisão de um numerador por 1, que é o elemento neutro da multiplicação. E qualquer numerador dividido por 1, dá o mesmo numerador. É isso que justifica, matematicamente, o lance do cortar e do macete (título deste post).

      Esqueci de enfatizar mais sobre isso, pois essa parte é um processo mais trivial. Pelo visto mais uma vez, julguei errado.

      Tente comparar e calcular pelo macete que mostrei no print deste post. E depois pelo método matemático correto e conseguirá enxergar essa trivialidade.

      Um abraço!

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  6. Olá, achei interessante sua explicação. Relacionei com um artigo que li, sobre igualar os denominadores para realizar a divisão por frações. Quando os igualamos, podemos dividir numerador por numerador e denominador por denominador, temos o trabalho de encontrar a fração equivalente, mas não precisamos fazer a inversão da segunda fração. Lendo seu artigo, percebi que o principio é o mesmo, são apenas maneira diferentes de realizar o cálculo.

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    Respostas
    1. Olá, Karla!

      É a explicação que encontramos em "livros didáticos" com um pouco mais de atenção por parte do autor e não dá enfase na parte que exige memorização para fazer essa divisão.

      Um abraço!

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Prof. Edigley Alexandre - O blog para professores e estudantes de Matemática: Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Qual a razão para essa ordem?
Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração. Qual a razão para essa ordem?
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