A Matemática presente na perfuração/controle de poços de petróleo/gás

Alguns algoritmos que são muitos úteis antes, durante e depois da perfuração de um poço de petróleo/gás. Algumas são simples, outras são mais complexas, porém todas são lindas.

Batendo um papo com um amigo petroleiro (Stanley), pedi para ele mostrar alguns dos materiais impressos que tinha sobre o treinamento que passou para trabalhar em perfurações de poços de petróleo.

Atualização: Esse foi um dos posts mais prazerosos que já escrevi. Por quê? Porque me fez pensar sobre quase tudo e a maioria desses pensamentos não trouxeram muitas respostas. E é esse limite que adoro: não saber tudo. Essa postagem foi editada enquanto estava de mudança para outra casa. O que ocasionou na perda de alguns materiais desse meu amigo, atrasando a postagem. Sempre quando o via, dizia que ia encontrar os materiais para devolvê-lo. Ele respondia: relaxa Alexandre, depois você entrega, não estou precisando agora. Uma semana antes do seu falecimento, encontrei os materiais em uma caixa. Essa postagem é uma pequena homenagem para um pai, esposo, amigo e cidadão honesto.

Ao paginar diversas apostilas do curso, para cada duas páginas folheadas, uma tinha equações. Equações simples compostas por fatores, razões, potenciações, radiciação, logaritmo neperiano, etc. e outras muito complexas envolvendo até matemática de nível superior. Claro, se trata de uma das engenharias mais complexas e lucrativas do mundo.

Não pensei duas vezes em pedir emprestado o material e escrever uma postagem para o blog, mostrando algumas dessas fórmulas matemáticas aplicadas em controles de perfurações de poços de petróleo/gás. (essa postagem estava em rascunho desde janeiro de 2016).

Não espere uma postagem altamente detalhada e que explica todo o processo que uma equação se aplica nessa profissão, culminando em todo o aparato tecnológico por trás dela. O objetivo é ser simples e mostrar a Matemática utilizada mesmo que superficialmente.

Alguns conceitos básicos

Todo poço de petróleo necessita de cuidados especiais para evitar que fluxos de fluidos não desejados penetrem nos mesmos tanto no momento da perfuração quanto em uma intervenção. São fluidos capazes de exercer uma pressão hidrostática maior do que o valor da pressão dos fluidos contidos nos poros da formação perfurada (que é cilíndrica).

Existem situações em que o valor da pressão hidrostática exercida pelo fluido de perfuração torna-se menor do que o valor da pressão de poros e se a permeabilidade da formação permitir, isto ocasionará o influxo de fluidos indesejáveis para o poço.

Esses fluxos são chamados de Kick's e se não forem controlados podem ocasionar um Blowout. E isso tem consequências econômicas e ambientais muitos graves, como bem explica esse slide sobre o custo de um Blowout.

Assista o vídeo abaixo para ver um Blowout na prática.


Se o vídeo estiver fora do ar, faça o download clicando no botão abaixo.

Baixar vídeo - 03:13
Assista esse vídeo do NatGeo que conta a história das primeiras plataformas de petróleo às atuais. Se o vídeo não estiver mais online, baixe esse vídeo pelo meu Google Drive.

Para evitar um blowout, é necessário realizar um rigoroso controle de pressão hidrostática do poço, para assegurar que ela sempre seja um pouco mais alta do que a pressão no interior da formação, assim, os fluidos da formação não poderão sair descontroladamente.

Por outro lado, a pressão no poço não pode ser muito elevada, do que no interior da formação para evitar que o fluido de perfuração entre na formação, danificando a mesma.

Considerações de um leigo em perfuração de poços de petróleo

Se você voltar a ler o tópico anterior, notará que há uma palavra que se repete algumas vezes - Pressão hidrostática. É uma das primeiras coisas que penso quando vejo uma sonda aqui na cidade que moro, perfurando um poço. Apenas perto na minha casa tem mais de 4 sondas perfurando poços dia a dia.

Daí me faço algumas perguntas: qual é a pressão naquele poço profundo? E a terra vai pra onde? Como o poço não desmorona? Como extrai o petróleo? Como é controlado tudo isso? Sei que existem diversos fatores que implicam na perfuração de um poço de petróleo ou gás. Isso pode começar na Geologia da área que será perfurada (terrestre ou marítima) até o tipo de broca que será utilizada para a perfuração.

Quero apenas destacar alguns pontos que está ao meu alcance e que possa ser compreendido sem muito esforço. E para isso me contento apenas pensando e tentando interpretar equações.

O vídeo abaixo é a melhor animação que encontrei, que mostra como é a preparação e perfuração de um poço de petróleo.



Baixar vídeo - 05:59

Equações matemáticas presentes na perfuração/controle de poços de petróleo/gás

A seguir alguns algoritmos que são muitos úteis antes, durante e depois da perfuração de um poço de petróleo/gás. Algumas são simples, outras são mais complexas, porém todas são lindas. Se você terminou o Ensino Médio recentemente talvez lembre de algumas.

Velocidade do líquido na entrada do poço

Uma vez que um poço de petróleo em sua fase final de perfuração pode atingir um comprimento de milhares de metros, o problema em estudo representa apenas um pequeno trecho do poço real.

A condição inicial do poço representa uma situação normal de perfuração, com circulação de fluido de perfuração em vazão constante e conhecida e sem a presença de gás no interior do poço. Neste caso, a velocidade do líquido na entrada do poço é calculada pela equação abaixo.

$V_{l-e}=\cfrac{Q_{l}}{\cfrac{\pi \cdot d^{2}_{i}}{4}}$

$Q_{l}$: é a vazão de fluido injetada no poço e $d_{i}$: diâmetro interno da coluna de perfuração.

Densidade

$d=\cfrac{m}{V}$

Onde: $d$ é a densidade, $m$ é a massa especifica e $V$ é o volume.

Na sonda de perfuração, o peso do fluido é comumente chamado de “peso da lama” e é o responsável pela pressão hidrostática no interior do poço. Para aumentar a densidade de um fluido, usam-se aditivos como a Baritina ou mineral similar.

O peso da lama na sonda é regularmente verificado pelo profissional chamado “torrista”. A queda do peso da lama pode trazer como principal problema a queda da pressão hidrostática no poço, podendo colocá-lo em “kick” (entrada de fluido da formação para o poço devido à queda da pressão hidrostática da lama).

Peso específico do fluido

$\rho=\cfrac{P}{V} \Rightarrow  \rho=\cfrac{m \cdot g}{V} \Rightarrow \rho=d \cdot g$

Onde: $\rho$  é o peso especifico, $P$ é o peso, $V$ é o volume, $m$ é a massa, $d$ é a densidade e $g$ é a gravidade. As formações ditas normais possuem peso específico entre os valores da água doce (água dos rios e lagos) e da água salgada (água salgada dos mares).

Pressão hidrostática de uma coluna de fluido

$p_{h}=\rho \cdot g \cdot h$

$P_{h}$: pressão hidrostática.
$\rho$: um dado fluido.
$g$: gravidade.
$h$: altura.

Gradiente de pressão

$G=\cfrac{P_{h}}{C \cdot Z}$

$G$: Gradiente de pressão.
$P_{h}$: Pressão hidrostática.
$Z$: Profundidade vertical.
$C$: Constante de conversão de unidades.

Massa específica ou densidade equivalente ($D_{e}$)

Muitas vezes, a pressão $P$ num determinado ponto $H$ é expressa em termos de massa específica equivalente. O seu valor pode ser calculado através da seguinte expressão:

$D_{e}=\cfrac{P}{0,17 \cdot H}$

sendo:

$D_{e}$ a massa específica equivalente, em lb/gal;
$P$ a pressão num determinado ponto, em psi;
$H$ a profundidade do ponto em consideração, em metros.

Taxa de penetração

Modelo de Maurer (broca tricônica): $ROP=k \cdot \cfrac{N \cdot W^{2}}{d_{b}^{2} \cdot S_{c}^{2}}$.

Onde $N$ é a rotação na coluna, $k$ é uma constante de perfurabilidade da formação, $d_{b}$ é o diâmetro da broca, expresso em polegadas, $S_{c}$ a resistência à compressão da rocha, expresso em psi, e $W$ é o peso sobre broca expresso em Klbf (libra-força ou libra-peso).

Vazão de gás

$Q_{g}=\cfrac{kh(P_{f}^{2}-BHP^{2})}{1424P_{D}(BHT+460) \mu Z}$

Onde $Q_{g}$ é a vazão de gás em scfd (pé cúbico por dia), $P_{D}$ é a pressão adimensional, $k$ é a permeabilidade do reservatório em mD, $h$ é a espessura da formação em ft (pé), $P_{f}^{2}$ é a  pressão da formação em psi, $BHP$ é a pressão no fundo do poço em psi, $BHT$ é a temperatura no  fundo do poço em ºF, $\mu$ é a viscosidade do fluido da formação em cP (Centipoise - Unidade de Viscosidade) e $Z$ é o fator de  compressibilidade do fluido da formação.

Estimativa da pressão de sobrecarga

$\displaystyle \sigma_{ov}=\int ^{z}_{0}\theta\left( z\right) \cdot g \cdot dz$

$\sigma_{ov}$: Pressão de sobrecarga.
$\theta (z)$: Massa especifica ou densidade das camadas sobrepostas.
$z$: Profundidade desejada.
$dz$: Variação da profundidade.
$g$: Aceleração da gravidade.

Modelagem do Reservatório

Apesar de ser comum a ausência de informações detalhadas sobre as propriedades do reservatório durante a etapa de planejamento do poço ou antes da primeira perfuração em uma dada região, foi utilizado o modelo mostrado na equação abaixo para a representação do reservatório de gás. Além disso, visando a estimar a vazão do kick, assumiu-se um reservatório radial em regime transiente.

$\displaystyle q_{w}=\left ( P_{i}^{2}-P_{w}^{2} \right ) \cdot \cfrac{2 \pi k \cdot ROP \cdot \Delta t}{ln\left ( \cfrac{4k \Delta t}{\gamma \mu_{g} c_{g} \varphi r_{w}^{2} } \right )\cdot \mu  \cdot P_{w}}$

Onde:

$q_{w}$ é a vazão de entrada do kick (m³/s)
$k$ é a permeabilidade do reservatório (D)
$ROP$ é a taxa de penetração da broca (m/s)
$\Delta t$ é o passo de tempo (s)
$c_{g}$ compressibilidade média do gás ($Pa^{-1}$)
$\gamma$ constante de Euler (adimensional)
$\mu_{g}$ viscosidade do gás (Pa.s)
$\varphi$ porosidade do reservatório (adimensional)
$r_{w}$ raio do poço (m)
$P_{w}$ pressão de fundo do poço (Pa)
$P_{i}$ pressão inicial do reservatório (Pa)

"Limite econômico" de um poço de petróleo/gás

Um poço é dito chegar a um "limite econômico", quando sua taxa de produção não cobre as despesas, incluindo impostos. A técnica de fraturamento hidráulico é uma opção economicamente viável para reativação de poços considerados exauridos. O limite econômico para poços de petróleo e gás pode ser expresso utilizando estas fórmulas:

Campos de óleo:

$EL_{oleo}=\cfrac{WI \cdot LOE}{NRI \cdot \left [ P_{o}+\cfrac{\left ( P_{g} \cdot GOR \right )}{1,000} \right ] \cdot (1-T)}$

Campos de gás:

$EL_{gas}=\cfrac{WI \cdot LOE}{NRI \cdot \left [\left ( P_{o} \cdot Y\right ) +P_{g} \right ] \cdot (1-T)}$

Onde:

${\displaystyle {EL}_{oleo}}$ é um limite econômico do poço de óleo em barris de óleo por mês (bbls/mês).
${\displaystyle {EL}_{gas}}$ é o limite econômico de um poço de gás em milhares de pés cúbicos padrão por mês (MSCF/mês).
${\displaystyle {P}_{o},{P}_{g}}$ são os preços atuais do petróleo e gás em dólares por barris e dólares por MSCF respectivamente.
${\displaystyle {LOE}}$ é a despesa operacional de locação em dólares por poço por mês.
${\displaystyle {WI}}$ é a participação de trabalho, como uma fração.
${\displaystyle {NRI}}$ é o lucro líquido, como uma fração.
${\displaystyle {GOR}}$ é a razão gás/óleo como bbls/MSCF.
${\displaystyle {Y}}$ é o rendimento em condensado como barril/milhão de pés cúbicos padrão.
${\displaystyle {T}}$ é a produção e imposto sobre exploração de recursos naturais (severance tax), como uma fração.

Concluindo

A quantidade absurda de equações matemáticas já era esperado quando tive acesso a dezenas de materiais impressos e os que encontrei na internet. São tantas que não caberia nessa postagem. Essas equações são analisadas através de softwares extremamente precisos e confiáveis que interpretam dados de vários sensores espalhados pela sonda ou centros de tratamento das informações coletadas para um campo de petróleo/gás.

É uma engenharia fascinante, lucrativa e muito perigosa, pois o fator humano ainda é imprescindível em todo o processo de planejamento e extração do petróleo/gás em campos terrestres ou marítimos.

Se quiser um bom exemplo, assista o filme Horizonte Profundo (Deepwater Horizon - 2016) que conta a história de sobrevivência e valor de 126 trabalhadores presos durante uma explosão em uma plataforma de extração de petróleo no Golfo do México ocorrida em 2010. Curiosidade: uma plataforma de exploração foi construída apenas para o filme. Existe uma especulação na indústria de que seria o maior cenário já construído para um longa. Elenco: Mark Wahlberg, Kurt Russell, John Malkovich, Kate Hudson, entre outros.