Caneta Bézier, edição de imagens vetoriais e Matemática

Você tem algum aluno (a) ou amigo (a) que adora desenhar? Quer ser um cartunista, ilustrador ou quadrinista profissional? Tenho e já tive diversos...

Você tem algum aluno (a) ou amigo (a) que adora desenhar? Quer ser um cartunista, ilustrador ou quadrinista profissional? Tenho e já tive diversos alunos que desenham maravilhosamente bem, porém na hora errada (risos), na hora da aula de Matemática. Particularmente, incentivo muito a continuarem com o que pensam para ser sua profissão no futuro (não na aula de Matemática). 

Fazer o que ama e ainda ganhar bem por isso, é um prazer que nem todos conseguem alcançar.

Justamente no dia de uma aula sobre monômios e polinômios surge aquele indignado aluno e pergunta: mas professor pra que estudar isso? Para que serve eu aprender monômios e polinômios? Eu adoro desenhar e nunca vou precisar desta Matemática quando estiver trabalhando com meus desenhos.

Olhei sorrindo para ele, respirei fundo e disse: tem razão! Você nunca usará esta Matemática em sua profissão como desenhista. E assunto encerrado. Continuei a aula.

Na próxima aula, antes de os alunos chegarem, preparei o projetor multimídia, conectei o meu notebook, abri o Youtube e deixei o vídeo abaixo pausado até a hora do início da aula.

Se o vídeo estiver fora do ar, baixe através do link abaixo.
[##download## Baixar vídeo]

Dei play no vídeo sem fazer nenhum comentário. Quando terminou o vídeo, o aluno que perguntou para que servia monômios e polinômios, levantou o braço e pediu desculpa, não que o certo fosse pedir desculpa, mas por perceber que ele viu Matemática num simples processo de vetorização de uma imagem desenhada à mão.

No mesmo dia, este aluno instalou o Inkscape (software mostrado no vídeo) e começou a estudar esse processo com seus próprios desenhos.

Caneta Bézier e a Matemática

Como visto no vídeo, a caneta bézier é um recurso muito útil para quem desenha com o Inkscape ou qualquer outro programa de edição de imagens vetoriais, por exemplo, SVG (Scalable Vector Graphics).

Uma imagem em SVG, usa a marcação XML (Extensible Markup Language) para descrever uma imagem vetorial. Diferentemente das imagens tradicionais, os gráficos vetoriais são sem perdas, o que significa que eles podem ser dimensionados para qualquer tamanho e sempre possuem bordas nítidas (sem aquele serrilhado feio).

Todas as imagens deste blog, do site camisetas de exatas e todos os outros blogs que ajudo no gerenciamento, fazemos uso de imagens vetoriais. Por quê? São imagens relativamente leves e que nos dá um resultado de alta qualidade e de tamanho leve também.

E o nome deste recurso (caneta Bézier) não tem origem em nenhum matemático, mas de um engenheiro francês chamado Pierre Bézier, funcionário da montadora Renault, que desenvolveu em 1962 a Curva de Bézier, utilizada para o design de automóveis.

A Curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Illustrator, Freehand, Fireworks, GIMP, Photoshop, Processing, Inkscape e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. [Wikipédia]

Animação de uma curva de Bézier linear, t em [0,1] - Imagem: Wikipédia.

Animação de uma curva de Bézier quadrática, t em [0,1] - Imagem: Wikipédia.

Animação de uma curva de Bézier cúbica, t em [0,1] - Imagem: Wikipédia.

Se quiser aprender a criá-la com o GeoGebra, siga esse passo a passo. Ou use o Desmos.

Esse tipo de curva também pode originar Superfícies de Bézier, bastante utilizadas em modelagem tridimensional, animações, design de produtos, engenharia, arquitetura entre outras aplicações.

Não, não expliquei sobre isso em sala de aula e nem farei. Aqui registro somente por curiosidade. Mas, se você já é aluno do ensino médio, deve lembrar do Binômio de Newton. A Curva Bézier simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida através de:

$${\displaystyle {\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\,\!.\;\;x=t\;,\;y=(1-t)}$$

Não somente os editores de imagens vetoriais tem usado essa tecnologia. Ambientes como o HTML 5, por exemplo, faz uso deste recurso para diversas funções, como páginas web, players de áudio e vídeo como o Youtube.

Você não vê a Matemática, mas ela está lá, embutida em formato de códigos e linguagens de programação. O que fazemos é apenas clicar e arrastar uma caneta Bézier no editor de imagens.