O alinhamento de três pontos no plano é fundamental na geometria, com aplicações em física, engenharia e computação gráfica. Entenda teoria e prática.
O alinhamento de três pontos no plano é um conceito fundamental em geometria e tem aplicações em diversas áreas, como física, engenharia, cartografia e computação gráfica, por exemplo. A condição para que três pontos estejam alinhados implica que eles se encontram em uma mesma reta.
Neste post, é mostrado dois métodos para determinação da condição de alinhamento de três pontos no plano: pelo método do determinante e pelo método das inclinações das retas.
Teorema 1:
Três pontos $A$, $B$ e $C$ pertencentes a um mesmo plano estão em condição de alinhamento se, e somente se, pertencem a uma mesma reta.
Alinhamento de três pontos através de determinantes
Vamos considerar três pontos $A$, $B$ e $C$ alinhados:
Pelo Teorema de Tales, temos que:
$$\cfrac{AB}{AC} = \frac{x_B-x_A}{x_C-x_A} \tag{1}$$e
$$\frac{AB}{AC} = \frac{y_B-y_A}{y_C-y_A} \tag{2}$$Igualando $(1)$ e $(2)$, obtemos:
$$\frac{x_B-x_A}{x_C-x_A} = \frac{y_B-y_A}{y_C-y_A}\\ \ \\ \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}\\ \ \\ \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} - \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A} = 0$$$$(x_C-x_A)(y_B-y_A) - (x_B-x_A)(y_C-y_A) = 0\\ \ \\ x_Cy_B-x_Cy_A-x_Ay_B+x_Ay_A-x_By_C+x_By_A+x_Ay_C-x_Ay_A=0\\ \ \\ x_Ay_B-x_Ay_C-x_By_A+x_By_C+x_Cy_A-x_Cy_B=0$$
Ou ainda:
$$x_A \big(y_B-y_C\big) + x_B \big(y_C-y_A\big) + x_C \big(y_A-y_B\big) = 0$$
O primeiro termo da igualdade acima corresponde ao determinante:
$$D=\begin{vmatrix}x_A & y_A & {1}\\x_B & y_B & {1}\\x_C & y_C & 1\end{vmatrix}$$
Para encontrar o determinante, podemos aplicar a Regra de Sarrus:
$$D =\begin{vmatrix}x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix}x_A & y_A\\ x_B & y_B\\ x_C & y_C \end{matrix} \ \\ \ \\ D = x_Ay_B + x_Cy_A + x_By_C - x_Cy_B - x_Ay_C - x_By_A\\ \ \\ D = x_A \big(y_B-y_C\big) + x_B \big(y_C-y_A\big) + x_C \big(y_A-y_B\big)$$
Desta forma, podemos dizer que, três pontos $A(x_A,y_A)$, $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C, y_C)$ estão alinhados, se:
$$D=\begin{vmatrix}x_A & y_A & 1\\x_B & y_B & 1\\x_C & y_C &1\end{vmatrix}=0$$
sendo a primeira coluna é das abscissas e a segunda é das ordenadas.
Corolário 1:
Um corolário é uma afirmação deduzida de uma verdade já demonstrada. Assim como proposição resultante de uma verdade. É igualmente uma decorrência imediata de um teorema. [Wikipédia]
Se $A$, $B$ e $C$ não são colineares, então existe um triângulo $\triangle ABC$ cuja área é dada por:
Condição de alinhamento:
Podemos, então, reescrever a condição de alinhamento de três pontos como:
Os pontos $A(x_A,y_A)$, $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C, y_C)$ são colineares se, e somente se:
$$D=\begin{vmatrix}x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=0$$Exemplo 1:
Verificar se os pontos $A(-3,5)$, $B(1,1)$ e $C(3,-1)$ são colineares.
Vamos calcular o determinante formado pela matriz das coordenadas das abscissas e das ordenadas e verificar se é igual a zero.
$$D=\begin{vmatrix} -3 & 5 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$Aplicando a Regra de Sarrus, obtemos:
$$D =\begin{vmatrix} -3 & 5 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} -3 & 5\\ 1 & 1\\ 3 & -1 \end{matrix} \ \\ \ \\ D = -3 +15-1-3-3-5\\ \ \\ D = 0$$Como o determinante é igual a zero $(D=0)$, podemos concluir que os três pontos estão alinhados. De fato, geometricamente, temos:
Exemplo 2:
Verificar se os pontos $A(-1,4)$, $B(5,-2)$ e $C(2,3)$ são colineares.
Vamos calcular o determinante:
$$D =\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1\\ 5 & -2 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} -1 & 4\\ 5 & -2\\ 2 & 3 \end{matrix} \ \\ \ \\ D = 2+8+15+4+3-20\\ \ \\ D = 12$$Como o determinante é igual a zero $(D\neq 0)$, logo, os três pontos não estão alinhados.
Exemplo 3:
Determinar os valores para $m$ para os quais os pontos $A(-6,0)$, $B(3,3)$ e $C(m^2,m+2)$ sejam colineares.
Pela condição de alinhamento, temos que:
$$D =\begin{vmatrix} -6 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ m^2 & m+2 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} -6 & 0 \\ 3 & 3 \\ m^2 & m+2 \end{matrix} \\ \ \\ D = -18 + 3(m+2)-3m^2+6(m+2) \\ \ \\ D = 9m-3m^2$$Como a condição para alinhamento é de que o determinante seja igual a zero, igualamos a zero o resultado obtido acima:
$$9m - 3m^2 = 0$$Resolvendo a equação:
$$9m - 3m^2 = 0\\ \ \\ 3m (3-m) = 0$$Daqui, obtemos que:
$$3m = 0\\ \ \\ m = 0$$ou
$$3-m = 0\\ \ \\ m=3 $$Como as coordenadas do ponto $C$ são $x=m^2$ e $y=m+2$, temos que:
$$C = (0,2) \qquad \text{e} \qquad C=(9,5)$$Alinhamento de três pontos utilizando inclinações
A verificação de alinhamento de três pontos no plano pode ser eficientemente realizada utilizando os coeficientes angulares das retas (inclinações das retas) formadas por esses pontos.
Dados três pontos $A(x_A,y_A)$, $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C, y_C)$ no plano, as inclinações das retas são dadas por:
$$m_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \qquad \text{e} \qquad m_{BC} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}$$Se $m_{AB} = m_{BC}$, então os pontos são colineares.
Exemplo 4:
Dados os pontos $A(-1,-4)$, $B(5,2)$ e $C(7,4)$, verificar se são colineares.
Calculando os coeficientes angulares dos segmentos de retas $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, obtemos:
$$m_{AB} = \frac{2-(-4)}{5-(-1)} = \frac{6}{6}=1\\ \ \\ m_{BC} = \frac{4-2}{7-5} = \frac{2}{2} = 1$$Como os coeficientes angulares são iguais, lobo os pontos são colineares.
Exemplo 5:
Dados os pontos $A(1,2)$, $B(3,0)$ e $C(4,-1)$, verificar se são colineares.
Calculando os coeficientes angulares dos segmentos de retas $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, obtemos:
$$m_{AB} = \frac{0-2}{3-1} = \frac{-2}{2}=-1\\ \ \\ m_{BC} = \frac{-1-0}{4-3} = \frac{-1}{1} = -1$$Como os coeficientes angulares são iguais, logo os pontos são colineares.
Exemplo 6:
Dados os pontos $A(0,1)$, $B(-3,2)$ e $C(4,3)$, verificar se são colineares.
Calculando os coeficientes angulares dos segmentos de retas $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, obtemos:
$$m_{AB} = \frac{2-1}{-3-0} = \frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\\ \ \\ m_{BC} = \frac{3-2}{4-(-3)} = \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$$Como os coeficientes angulares são diferentes, logo os pontos não são colineares.
Comparação entre os métodos:
Precisão: Ambos os métodos são precisos. No entanto, se os pontos são muito próximos um do outro e possuem valores irracionais, o método do determinante pode ser mais confiável em termos de precisão numérica, devido a arredondamentos na divisão para calcular as inclinações.
Robustez e generalidade: O método do determinante é mais geral e robusto, pois pode ser aplicado a qualquer dimensão, enquanto o método das inclinações é restrito ao plano cartesiano.
Facilidade de aplicação: O método das inclinações é mais direto e fácil de entender, quando aplicado ao plano cartesiano. No entanto, não é possível aplicá-lo quando a diferença das coordenadas $x$ entre dois pontos é zero.
Computação: E termos computacionais, ambos os métodos são eficientes. No entanto, o método do determinante pode ser mais conveniente quando trabalhamos com matrizes ou em situações que envolvam álgebra linear.
O sucesso do Google deriva em grande parte de seu algoritmo, o PageRank, que classifica a importância de páginas de acordo com um vector próprio de uma matriz de ligação ponderada. Análise da fórmula PageRank fornece um tópico maravilhoso para um curso de Álgebra Linear. [Trecho do artigo A Álgebra Linear por trás do Google]
Intuitividade: O método das inclinações tem uma abordagem mais intuitiva, especialmente em situações onde as pessoas estão familiarizadas com o conceito de inclinação de uma reta. Já o método do determinante requer compreensão de álgebra linear e pode ser menos intuitivo para iniciantes.
Conclusão
Ambos os métodos são úteis e eficazes para verificar o alinhamento de pontos no plano. A escolha do método depende do contexto e das necessidades específicas do problema. Para problemas simples e intuitivos, o método das inclinações pode ser mais apropriado.
Já para problemas mais complexos ou em dimensões superiores, o método do determinante é preferível. O conhecimento de ambos os métodos proporciona uma compreensão mais ampla e flexível da geometria analítica, permitindo a escolha da abordagem mais eficaz para cada situação específica.
Confira estes materiais do GeoGebra sobre condição de alinhamento entre três pontos no plano, no link logo abaixo.
Referências:
- Matemática e Aplicações V3 - Dante
- Matemática V3 - Kátia Stocco Smole
Top! Ficou muito bom! O método usando os coeficientes angulares é bem prático. Um abraço!
ResponderExcluirNa épica da faculdade, depois de Álgebra Linear, Geometria Analítica era o meu assunto favorito. Que bom que gostou do artigo! Qualquer equívoco, por favor pode reportar aqui rsrs
ExcluirAbração!